Análise combinatória para concursos: PFC, arranjo, combinação e permutação

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras algo pode acontecer sem precisar listar todas elas. Para a prova, quase tudo se resolve com uma ferramenta, o princípio fundamental da contagem, e uma pergunta: a ordem importa? Se importa, é arranjo (ou permutação). Se não importa, é combinação.

O assunto aparece nos editais policiais do Cebraspe. No da Polícia Federal de 2025, Raciocínio Lógico traz "5 Princípios de contagem e probabilidade". No da PRF de 2021, Raciocínio Lógico-Matemático traz "6 Noções básicas de contagem, probabilidade e estatística".

Princípio fundamental da contagem (PFC)

Se uma tarefa é feita em etapas independentes, com n₁ opções na primeira, n₂ na segunda e assim por diante, o total de maneiras é o produto n₁ × n₂ × ... Esse é o coração da matéria.

Exemplo 1. Uma senha tem 4 dígitos, de 0 a 9, e os dígitos podem se repetir. Quantas senhas existem?

Cada posição tem 10 opções: 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 senhas.

Exemplo 2. E se os 4 dígitos tiverem de ser distintos?

A primeira posição tem 10 opções, a segunda 9 (não pode repetir), a terceira 8 e a quarta 7: 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 senhas.

Regra de ouro do PFC: comece pela posição com restrição. Se a senha não pudesse começar com zero, você preencheria primeiro a primeira posição (9 opções) e depois as outras.

Fatorial

O fatorial de n (escreve-se n!) é o produto de n por todos os inteiros positivos menores que ele: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1. Os primeiros valores ajudam na prova:

As quatro ferramentas

Como saber se a ordem importa

Faça o teste da troca: pegue uma escolha e troque dois elementos de lugar. Se o resultado mudou, a ordem importa (arranjo). Se é a mesma coisa, não importa (combinação).

• Escolher 3 agentes de 10 para formar uma equipe: trocar Ana e Bruno de lugar dá a mesma equipe. Combinação: C(10, 3) = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 120.
• Escolher chefe, subchefe e motorista entre 10 agentes: Ana chefe e Bruno motorista é diferente de Bruno chefe e Ana motorista. Arranjo: A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720.

Repare que o arranjo é a combinação multiplicada por 3!, que é o número de formas de ordenar os 3 escolhidos: 120 × 6 = 720.

Exemplos resolvidos

Anagramas com letras repetidas. Quantos anagramas tem a palavra POLICIA?

São 7 letras, e a letra I aparece 2 vezes. Permutação com repetição: 7! ÷ 2! = 5.040 ÷ 2 = 2.520.

Combinação com restrição. Um grupo tem 5 homens e 4 mulheres. Quantas comissões de 3 pessoas têm exatamente 1 mulher?

Escolha a mulher e, separadamente, os homens, e multiplique: C(4, 1) × C(5, 2) = 4 × 10 = 40.

"Pelo menos um": use o complementar. Quantas comissões de 3 pessoas têm pelo menos 1 mulher?

Em vez de somar os casos de 1, 2 e 3 mulheres, faça total menos o que não serve. Total: C(9, 3) = 84. Comissões só de homens: C(5, 3) = 10. Resposta: 84 − 10 = 74.

Elementos que ficam juntos. De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila se Ana e Bruno têm de ficar lado a lado?

Trate Ana e Bruno como um bloco: agora são 4 "elementos" para ordenar (4! = 24). Dentro do bloco, os dois podem trocar de lugar (2! = 2). Total: 24 × 2 = 48.

Permutação circular. De quantas formas 6 pessoas podem sentar em uma mesa redonda?

Em mesa redonda, girar todo mundo não cria uma disposição nova. Fixa-se uma pessoa e ordenam-se as outras: (6 − 1)! = 5! = 120.

Como a banca cobra

Itens escritos por nós, no estilo da banca. Julgue antes de ler o gabarito.

Item 1 (no estilo da banca). Entre 8 candidatos aprovados, a quantidade de maneiras distintas de escolher 3 para compor uma comissão, sem distinção de funções, é igual a 336.

Gabarito: errado. Sem distinção de funções, a ordem não importa: C(8, 3) = (8 × 7 × 6) ÷ 6 = 56. O número 336 é o arranjo A(8, 3), que valeria se houvesse funções diferentes.

Item 2 (no estilo da banca). A quantidade de anagramas da palavra AGENTE é superior a 700.

Gabarito: errado. São 6 letras com a letra E repetida 2 vezes: 6! ÷ 2! = 720 ÷ 2 = 360.

Item 3 (no estilo da banca). Com os algarismos de 0 a 9, é possível formar 720 senhas de 3 dígitos distintos.

Gabarito: certo. 10 × 9 × 8 = 720. Como é senha, começar com zero é permitido.

Item 4 (no estilo da banca). Seis agentes podem se sentar ao redor de uma mesa circular de 120 maneiras distintas.

Gabarito: certo. Permutação circular: (6 − 1)! = 120.

Erros comuns

1. Usar arranjo quando a ordem não importa. Comissões, grupos, equipes sem cargos: combinação.
2. Esquecer de dividir pelas repetições nos anagramas.
3. Somar quando deveria multiplicar. Etapas sucessivas ("escolher a mulher e os homens") multiplicam. Casos alternativos ("1 mulher ou 2 mulheres") somam.
4. Ignorar restrições do enunciado, como "começar com vogal" ou "não pode começar com zero".

Como estudar

Combinatória é matéria de exercício: entender a teoria leva poucas horas, mas a segurança vem com volume. Resolva questões oficiais em blocos e, a cada erro, anote se a falha foi de interpretação (ordem importa?) ou de conta. A matéria serve de base para probabilidade, que também cai na PF e na PRF; veja a parte de probabilidade em estatística para a PF.

Para saber se vale começar por aqui ou por outra matéria, faça o diagnóstico grátis.

Perguntas frequentes

Como saber se é arranjo ou combinação?

Faça o teste da troca. Escolha um resultado e troque dois elementos de lugar. Se virou outro resultado, a ordem importa e é arranjo. Se continua o mesmo, é combinação.

Quando usar o princípio fundamental da contagem?

Sempre que a tarefa puder ser dividida em etapas sucessivas. Na verdade, arranjo, permutação e combinação são atalhos que derivam do PFC.

O que fazer quando o problema diz "pelo menos um"?

Em geral, calcule o total e subtraia os casos que não atendem à condição (nenhum). É mais rápido do que somar todos os casos possíveis.

Quanto vale 0!?

Por definição, 0! = 1. Isso é necessário para que as fórmulas funcionem, por exemplo, em C(n, n) = 1.

Fontes

• Edital nº 1 – PF – Policial, de 20 de maio de 2025 (Cebraspe), conteúdo de Raciocínio Lógico
• Edital Concurso PRF nº 1, de 18 de janeiro de 2021 (Cebraspe), conteúdo de Raciocínio Lógico-Matemático
• MORGADO, Augusto César et al. Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: SBM (Coleção do Professor de Matemática).