Questão de Matemática

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta. Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C2 tal que satisfaz a equação de Laplace Δf = 0 no disco unitário D = {(x, y) ∈ ℝ2: x2 + y2 ≤ 1} com a condição de bordo f(x, y) = φ(x, y) para pontos (x, y) ∈ ∂D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita. Mostraremos que devemos ter (x, y) ∈ D f(x, y) = g(x, y), para todo . Note que a função h(x, y) = f(x, y) − g(x, y) é de classe C2 e que Δh = , para todo ponto em D. Também temos que h(x, y) = 0, para todo (x, y) ∈ ∂D. Aplicando a identidade de Green, 2 obtemos ∫ |∇⃗⃗h| dA = − ∫ h ΔhdA + ∮ h ∇⃗⃗h ⋅ ds⃗, D D ∂D em que ∇⃗⃗h denota o gradiente de h. Como Δh = 0 2 em D e h = 0 em ∂D, obtemos ∫ |∇⃗⃗h| dA = 0. D 2 Sendo |∇⃗⃗h| uma função não negativa, concluímos que ∇⃗⃗h = 0⃗⃗. Como D é um conjunto , concluímos que h deve ser em D. Uma vez que h = 0 em ∂D, segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.