Questão de Matemática

A Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeça do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Édouard Lucas. O jogo se apresenta em uma base que possui três pinos na posição vertical. No primeiro pino, temos uma sequência de discos (torre) que decrescem em diâmetro, de baixo para cima. O objetivo é passar todos os discos para o último pino com a ajuda do pino central, de modo que, no momento da transferência, um disco de maior diâmetro nunca fique sobre um de diâmetro menor. A figura abaixo mostra uma versão do brinquedo com 10 discos. Consta que Édouard teria sido inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo em Benares, cidade da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo. De acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixados três pinos de diamante. Em um desses pinos, o deus Brahma, no momento da criação do mundo, colocou 64 discos de ouro puro. A atribuição que os monges do templo receberam foi de transferir, do primeiro para o último pino, a torre formada pelos 64 discos, seguindo as regras acima mencionadas. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria. Considere que os 64 discos a serem movidos pelos monges sejam numerados, desde a base da torre, sequencialmente, a partir do número 1, até que o disco que está no topo da torre seja o de número 64. Suponha que cada um desses discos seja uma coroa circular, isto é, uma região limitada por duas circunferências de mesmo centro, conforme ilustra a figura a seguir. A medida do raio da circunferência interna é igual a r metros em todos os discos da torre. Por outro lado, a medida do raio da circunferência externa depende da posição do disco na torre, sendo descrita pela função dada por R(n) = (−0,5n² + 0,5n + α) / 1000, em que R(n) é a medida do raio da circunferência externa, em metros, do disco de número n, n ∈ {1,2,3,...,64}, e α é um número real. Note que r < R(n) para todo n ∈ {1,2,3,...,64}.