Contagem e probabilidade

Aula quatro de Raciocínio Lógico para a Polícia Civil de Pernambuco: contagem e probabilidade. É a parte de conta da lógica, e parece difícil só até você enxergar o desenho por trás. Hoje você vai aprender o princípio multiplicativo, o fatorial, a diferença entre arranjo e combinação e como calcular uma probabilidade.

Um problema de plantão. Quantas duplas de delegado e escrivão dá para montar? Primeiro, escolhemos o delegado: são três delegados, A, B e C. Para cada delegado, escolhemos o escrivão: são dois escrivães, X e Y. Cada galho se abre em dois. Contando as pontas da árvore: seis duplas. Três vezes dois.

Daí sai a regra mais importante da contagem. Quando uma escolha acontece em etapas, multiplique o número de opções de cada etapa. É o princípio fundamental da contagem. A árvore só mostra por que ele funciona.

Um caso especial: ordenar todos os elementos. De quantos jeitos dá para enfileirar quatro viaturas? Para a primeira posição, quatro opções. Depois três, depois duas, depois uma. Quatro vezes três vezes dois vezes um: vinte e quatro. Esse produto se chama fatorial, e se escreve quatro com ponto de exclamação.

Agora a pergunta que decide metade das questões: a ordem importa? Escolher, entre cinco agentes, um chefe e um vice é arranjo. Ana chefe e Beto vice é diferente de Beto chefe e Ana vice. Escolher, entre cinco agentes, uma dupla para uma diligência é combinação. Ana e Beto é a mesma dupla que Beto e Ana. As contas: no arranjo, cinco vezes quatro, vinte. Na combinação, o mesmo vinte dividido por dois, porque cada dupla foi contada duas vezes: dez.

A combinação de cinco, dois a dois. Em cima, o arranjo: cinco vezes quatro. Embaixo, o fatorial de quantos foram escolhidos: dois vezes um. Vinte dividido por dois: dez duplas.

Questão um, no formato da prova. Uma senha de acesso ao sistema da delegacia tem três algarismos distintos. A quantidade de senhas possíveis é: A, trinta. B, cento e vinte. C, quinhentos e quatro. D, setecentos e vinte. E, mil. São três etapas. Primeiro algarismo: dez opções, de zero a nove. Como são distintos, o segundo tem nove e o terceiro, oito. A soma, trinta, não faz sentido, e mil repete algarismos. Cento e vinte seria combinação, mas na senha a ordem importa. E quinhentos e quatro esquece o zero. Dez vezes nove vezes oito: setecentos e vinte. Gabarito, letra D.

Questão dois. De um grupo de seis agentes, serão escolhidos dois para uma diligência, sem distinção de função. O número de duplas possíveis é: A, doze. B, quinze. C, trinta. D, trinta e seis. E, setecentos e vinte. Sem distinção de função: a ordem não importa. É combinação. Trinta seria o arranjo, seis vezes cinco, que conta cada dupla duas vezes. Doze, trinta e seis e setecentos e vinte não correspondem a essa escolha. Seis vezes cinco, trinta, dividido por dois: quinze. Gabarito, letra B.

Agora, probabilidade. A definição cabe numa linha. Probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. E o resultado fica sempre entre zero e um. Ou, em porcentagem, entre zero e cem por cento.

Na prática: uma delegacia tem quarenta inquéritos, e doze deles são de furto. Sorteando um ao acaso, a chance de ser furto é doze em quarenta: trinta por cento. E a chance de não ser furto é o resto: vinte e oito em quarenta, setenta por cento. Repare que as duas somam cem por cento.

A árvore também resolve probabilidade. Voltando ao plantão: o delegado e o escrivão serão sorteados. Qual a chance de sair a dupla A e Y? Ela é um caminho entre seis: um sexto. Ou, multiplicando as chances de cada etapa: um terço para o delegado A, vezes meio para o escrivão Y. Também um sexto.

Três regras resolvem quase toda questão. E, com eventos independentes: multiplique. A chance de A e de Y é um terço vezes meio. Ou, com eventos que não acontecem juntos: some. A chance de sair o delegado A ou o B é um terço mais um terço. E o não: é um menos a probabilidade. Se a chance de furto é trinta por cento, a de não ser é setenta.

Aquecimento rápido. Certo ou errado? Cinco fatorial é cento e vinte. Certo. Cinco vezes quatro vezes três vezes dois vezes um. Escolher uma comissão de três pessoas é arranjo. Errado. Em comissão a ordem não importa: combinação. Uma probabilidade pode ser maior que um. Errado. Fica sempre entre zero e um. Se a chance de um evento é vinte por cento, a de não ocorrer é oitenta. Certo.

E a última, de probabilidade. Em uma operação, vinte e cinco dos cem veículos abordados tinham alguma irregularidade. Escolhendo-se ao acaso um desses veículos, a probabilidade de que ele não tenha irregularidade é: A, vinte e cinco por cento. B, trinta e três por cento. C, cinquenta por cento. D, sessenta e sete por cento. E, setenta e cinco por cento. Cuidado com a palavra não. Vinte e cinco por cento é a chance de ter irregularidade, o contrário do que se pede. As outras alternativas não saem de nenhuma conta com os dados do enunciado. Um menos vinte e cinco por cento: setenta e cinco por cento. Gabarito, letra E.

Revisão relâmpago, para fixar. Escolha em etapas: multiplique. Ordenar todos: fatorial. A ordem importa? Arranjo. Não importa? Combinação, que é o arranjo dividido pelo fatorial dos escolhidos. Probabilidade: favoráveis sobre possíveis, sempre entre zero e um. E multiplica, ou soma, e o não é um menos a probabilidade.

Fechamos contagem e probabilidade! Na próxima: porcentagem, razão, proporção e regra de três. As questões desta aula e o mapa mental estão de graça no link da descrição.