Questão de Matemática

Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação: x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir: I. Se um polinômio de grau n com coeficientes reais possui uma raiz complexa z = a + bi ( b ≠ 0), então seu conjugado z̅ = a − bi também é obrigatoriamente raiz do polinômio. II. Para a equação x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2. III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau n ≥ 1 possui exatamente n raízes reais, contando multiplicidades. IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}. Quais estão corretas?