Equivalências e negações: contrapositiva e De Morgan

Aula dois de Raciocínio Lógico para a Polícia Civil de Pernambuco: equivalências e negações. É o assunto de lógica que mais aparece em prova do Cebraspe, e o que mais tem pegadinha. Hoje você vai aprender a contrapositiva, a troca do se, então pelo ou, as leis de De Morgan e a negação do condicional.

Pergunta clássica: qual é a negação de se chove, então a operação é adiada? Se não chove, então a operação não é adiada. A maioria responde isto: negar as duas partes e manter o se, então. Está errado. Isso nem é negação. A negação correta é: chove e a operação não é adiada. Até o fim da aula você vai saber exatamente por quê.

Duas definições, antes de tudo. Duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade, linha por linha. E a negação de uma proposição tem a tabela oposta: onde uma é verdadeira, a outra é falsa, em todas as linhas.

A primeira equivalência do se, então: a contrapositiva. Começamos com p, então q. Troque a ordem e negue as duas: não q, então não p. É equivalente. Em frase: se estudou, então passou é o mesmo que se não passou, então não estudou.

A segunda: o se, então pode virar um ou. De novo, p, então q. Negue a primeira, troque a seta pelo ou e mantenha a segunda: não p ou q. Em frase: se estudou, então passou equivale a não estudou ou passou.

Não precisa acreditar em mim: a tabela prova. Com p e q, as quatro linhas de sempre. O condicional: verdadeiro, falso, verdadeiro, verdadeiro. A contrapositiva: verdadeiro, falso, verdadeiro, verdadeiro. Igual. E o não p ou q: de novo verdadeiro, falso, verdadeiro, verdadeiro. As três colunas são idênticas, com a mesma linha falsa. Por isso são equivalentes.

Agora as duas armadilhas que a banca coloca nas alternativas. A recíproca: q, então p. Só inverte a ordem. Não é equivalente. A inversa: não p, então não q. Só nega as duas. Também não é equivalente. Contrapositiva faz as duas coisas ao mesmo tempo: inverte e nega. Só ela vale.

Questão um, no formato da prova. Se o suspeito confessou, então o inquérito foi concluído. Uma proposição equivalente é: A, se o inquérito foi concluído, então o suspeito confessou. B, se o suspeito não confessou, então o inquérito não foi concluído. C, se o inquérito não foi concluído, então o suspeito não confessou. D, o suspeito confessou e o inquérito não foi concluído. E, o suspeito confessou ou o inquérito foi concluído. A só inverte a ordem: é a recíproca. Não vale. B só nega as duas: é a inversa. Não vale. D é a negação do condicional, o oposto do que pedem. E troca por ou, mas esquece de negar a primeira. C inverte e nega: contrapositiva. Gabarito, letra C.

Agora as negações. A primeira lei de De Morgan: a negação de p e q. O til entra nas duas proposições, e o e vira ou: não p ou não q. Em frase: a negação de estudou e passou é não estudou ou não passou.

A segunda lei é o espelho da primeira: a negação de p ou q. Nega as duas, e o ou vira e: não p e não q. Em frase: a negação de choveu ou nevou é não choveu e não nevou.

E a mais cobrada: a negação de p, então q. Mantém a primeira, troca a seta por e, e nega a segunda: p e não q. É o famoso mané: mantém, e, nega. Faz sentido: o condicional só é falso quando p acontece e q não. A negação descreve exatamente esse caso.

Juntando tudo numa tabela só. Negação do e: nega as duas e vira ou. Negação do ou: nega as duas e vira e. Negação do se, então: mantém a primeira, e, nega a segunda. A negação do se e somente se é o ou, ou. E negar duas vezes volta ao original.

Na prova, tudo isso vem em frases. Vamos negar três. O agente estudou e foi aprovado. Negação: o agente não estudou ou não foi aprovado. Choveu ou nevou. Negação: não choveu e não nevou. Se chove, a operação é adiada. Negação: chove e a operação não é adiada. O mané de novo.

Questão dois, de De Morgan. O delegado ouviu a vítima e o escrivão registrou o depoimento. A negação é: A, o delegado não ouviu a vítima e o escrivão não registrou o depoimento. B, o delegado não ouviu a vítima ou o escrivão não registrou o depoimento. C, o delegado ouviu a vítima ou o escrivão registrou o depoimento. D, o delegado não ouviu a vítima e o escrivão registrou o depoimento. E, se o delegado não ouviu a vítima, então o escrivão não registrou o depoimento. A é o erro clássico: negou as duas, mas manteve o e. Faltou trocar pelo ou. C trocou o conectivo e não negou nada. D negou só uma das partes. E é um condicional que nem equivale à negação. B nega as duas e troca o e pelo ou. De Morgan. Gabarito, letra B.

Aquecimento rápido. Certo ou errado? Não, não p equivale a p. Certo. Dupla negação. A negação de p ou q é não p ou não q. Errado. O ou vira e: não p e não q. p, então q equivale a q, então p. Errado. Essa é a recíproca. A negação de p, então q é p e não q. Certo. O mané. p, então q equivale a não p ou q. Certo.

E a última, fechando o ciclo com a frase do começo da aula. Se chove, então a operação é adiada. A negação é: A, se não chove, então a operação não é adiada. B, chove e a operação não é adiada. C, não chove ou a operação é adiada. D, não chove e a operação é adiada. E, chove ou a operação não é adiada. A é a inversa, o erro do começo da aula. C é equivalente ao condicional, não a negação. Cuidado com essa troca. D inverteu o mané, e E usou o conectivo errado. Mantém, chove. E. Nega, a operação não é adiada. Gabarito, letra B.

Revisão relâmpago, para fixar. Equivalentes têm a mesma tabela. A negação tem a tabela oposta. p, então q equivale à contrapositiva, não q então não p, e a não p ou q. Recíproca e inversa não valem. De Morgan: nega as duas e troca e por ou, ou por e. Negar o se, então: mané. Mantém a primeira, e, nega a segunda.

Fechamos equivalências e negações! Na próxima: argumentação, quantificadores e diagramas lógicos, com todo, algum e nenhum. As questões desta aula e o mapa mental estão de graça no link da descrição.