Equações, funções e progressões (PA e PG)

Aula seis de Raciocínio Lógico para a Polícia Civil de Pernambuco: equações e progressões. É a parte de álgebra do edital. E, vista em desenho, ela fica bem mais simples do que parece. Hoje você vai ver equações e sistemas, a função do primeiro e do segundo grau no gráfico, e as progressões aritmética e geométrica.

Comece com um problema curto. O triplo do número de viaturas de uma delegacia, menos cinco, dá dezesseis. Quantas viaturas são? Chame o número de viaturas de x: três x menos cinco igual a dezesseis. O menos cinco passa para o outro lado somando: três x igual a vinte e um. E o três, que multiplica, passa dividindo: x igual a sete. Sete viaturas.

Quando são duas incógnitas, você precisa de duas equações. Um plantão tem trinta servidores, entre agentes e escrivães. E há seis agentes a mais que escrivães. Some as duas equações: o y some, e sobra dois x igual a trinta e seis. Logo, x é dezoito. Voltando na primeira: dezoito mais y dá trinta, então y é doze. Dezoito agentes e doze escrivães.

Questão um, no formato da prova. Em uma operação, atuaram quarenta servidores, entre agentes e escrivães. O número de agentes era o triplo do número de escrivães. Quantos agentes atuaram na operação? A, dez. B, vinte. C, vinte e cinco. D, trinta. E, trinta e cinco. Agentes x, escrivães y. x mais y é quarenta, e x é três y. Trocando: quatro y igual a quarenta, y igual a dez. Mas dez são os escrivães, e a pergunta é sobre agentes. Vinte seria dividir o total ao meio, e vinte e cinco ou trinta e cinco não fecham as duas equações. Agentes: três vezes dez, trinta. Gabarito, letra D.

Toda equação do primeiro grau com duas variáveis vira uma reta no gráfico. Y igual a dois x mais um: o dois é a inclinação, e como é positivo, a reta sobe. O um é onde ela corta o eixo y. Agora y igual a menos x mais quatro: inclinação negativa, a reta desce. E o ponto onde as duas se cruzam, x igual a um e y igual a três, é a solução do sistema com essas duas equações.

Com x ao quadrado, o gráfico vira uma parábola. Y igual a x ao quadrado menos quatro x mais três. O a é positivo, então a boca é para cima. As raízes são os pontos em que a parábola toca o eixo x: aqui, um e três. E o ponto mais baixo é o vértice: x igual a dois, y igual a menos um. Com a boca para baixo, o vértice seria o ponto mais alto, o máximo.

E dá para achar o vértice sem desenhar nada. O x do vértice é menos b sobre dois a. Na nossa parábola, b é menos quatro e a é um: quatro sobre dois. X do vértice igual a dois. É ele que responde as questões de máximo e mínimo.

Questão dois. A função f de x igual a menos x ao quadrado mais dez x menos dezesseis atinge seu valor máximo quando x é igual a: A, dois. B, cinco. C, oito. D, nove. E, dez. O a é negativo: boca para baixo, então existe um máximo, no vértice. Dois e oito são as raízes, onde a função vale zero. Nove é o valor máximo da função, e não o x onde ele acontece. E dez é só o b copiado. Menos b sobre dois a: menos dez sobre menos dois, cinco. Gabarito, letra B.

Agora, progressões. Numa progressão aritmética, a PA, cada termo é o anterior mais um número fixo, a razão. Três, sete, onze, quinze, dezenove. A razão é quatro. Para achar um termo lá na frente, use o termo geral: a n é igual ao primeiro termo mais n menos um vezes a razão.

Qual é o décimo termo dessa PA? O primeiro termo é três, e do primeiro ao décimo são nove saltos de quatro. Três mais trinta e seis: trinta e nove.

Na progressão geométrica, a PG, em vez de somar, você multiplica sempre pelo mesmo número, também chamado de razão. Dois, seis, dezoito, cinquenta e quatro, cento e sessenta e dois. A razão é três, e repare como a PG dispara. O termo geral: a n é o primeiro termo vezes a razão elevada a n menos um.

Por fim, a soma dos termos de uma PA. Quanto dá um mais dois mais três, até cem? O truque: junte o primeiro com o último. Um mais cem, cento e um. Dois mais noventa e nove, cento e um. Todos os pares dão cento e um. São cinquenta pares: cento e um vezes cem, dividido por dois. Cinco mil e cinquenta. Fórmula: primeiro mais último, vezes o número de termos, dividido por dois.

Aquecimento rápido. Certo ou errado? Na reta y igual a menos dois x mais cinco, a função é decrescente. Certo. O a é negativo. Se o a da parábola é negativo, o vértice é um ponto de mínimo. Errado. Boca para baixo: o vértice é o máximo. Na PA cinco, oito, onze, a razão é três. Certo. A sequência três, seis, nove, doze é uma PG. Errado. Ela soma três a cada termo: é uma PA.

E a última, de PA. Uma delegacia registrou doze ocorrências na primeira semana de um mês e, a cada semana seguinte, três ocorrências a mais que na semana anterior. Mantido esse padrão, na décima semana foram registradas: A, trinta. B, trinta e seis. C, trinta e nove. D, quarenta e dois. E, cento e vinte. É uma PA de razão três começando em doze. A armadilha clássica é usar dez saltos: doze mais trinta, quarenta e dois. Mas da primeira à décima semana são nove saltos. Trinta, trinta e seis e cento e vinte vêm de contas que não seguem o termo geral. Doze mais nove vezes três: trinta e nove. Gabarito, letra C.

Revisão relâmpago, para fixar. Equação: quem soma passa subtraindo, quem multiplica passa dividindo. Sistema: some ou substitua. Primeiro grau: reta, que sobe com a positivo. Segundo grau: parábola, com vértice em menos b sobre dois a. PA soma a razão: a n igual a a um mais n menos um vezes r. PG multiplica pela razão: a n igual a a um vezes q elevado a n menos um.

Fechamos equações e progressões! Na próxima, a última de Raciocínio Lógico: conjuntos numéricos, medidas e problemas aritméticos e geométricos. As questões desta aula e o mapa mental estão de graça no link da descrição.