Dispersão, assimetria e curtose

Aula dois de Estatística para a Polícia Civil de Pernambuco: dispersão, assimetria e curtose. A média diz onde os dados estão. A dispersão diz o quanto eles se espalham. E a banca adora as propriedades. Hoje: amplitude, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, e a forma da distribuição.

Duas equipes, com a mesma média de horas extras no mês. Primeiro, a equipe A. A média é doze horas. E os valores estão juntinhos: a amplitude, do menor ao maior, é só quatro, e o desvio padrão é pouco mais de um.

Agora a equipe B. A mesma média: doze horas. Mas os valores estão espalhados: amplitude de dezesseis e desvio padrão acima de cinco. Mesma média, realidades bem diferentes. É isso que as medidas de dispersão capturam.

Como se calcula. Pegue os dados dois, dois, oito e oito. A média é cinco. Os desvios em relação à média são menos três, menos três, três e três. Eleve cada um ao quadrado: nove. A variância é a média desses quadrados: trinta e seis dividido por quatro, nove. E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância: três. Ele volta para a mesma unidade dos dados. Numa amostra, a soma dos quadrados é dividida por n menos um.

Agora as propriedades, que valem pontos fáceis. Somando uma constante a todos os valores, a média soma junto, mas o desvio padrão e a variância não mudam: os dados só andaram, não se espalharam. Multiplicando todos por uma constante, a média e o desvio padrão ficam multiplicados por ela. E a variância, pelo quadrado dela.

Questão um, no formato da prova. Os salários dos servidores de um setor foram todos reajustados em dez por cento. Em relação ao desvio padrão dos salários antes do reajuste, o novo desvio padrão: A, não se altera. B, fica multiplicado por um vírgula um. C, aumenta exatamente dez unidades. D, fica multiplicado por um vírgula vinte e um. E, dobra. Reajustar dez por cento é multiplicar por um vírgula um, e não somar. Por isso não fica igual. E um vírgula vinte e um seria a variância, que vai ao quadrado. Aumentar dez unidades ou dobrar não sai de nenhuma propriedade. Multiplicou os dados, multiplica o desvio padrão: por um vírgula um. Gabarito, letra B.

Para comparar a dispersão de grupos com médias diferentes, use o coeficiente de variação: o desvio padrão dividido pela média. Se o desvio padrão é três e a média é quinze, o CV é três sobre quinze: vinte por cento. Ele não tem unidade. Quanto menor o CV, mais homogêneo é o grupo.

Questão dois. Em um teste, a turma A obteve média cinquenta e desvio padrão cinco, e a turma B, média vinte e desvio padrão quatro. Com base no coeficiente de variação, é correto afirmar que: A, a turma A é mais homogênea, com CV de dez por cento. B, a turma B é mais homogênea, por ter menor desvio padrão. C, as duas turmas têm o mesmo CV. D, a turma B é mais homogênea, com CV de vinte por cento. E, não é possível comparar as turmas. A armadilha é olhar só o desvio padrão. Com médias diferentes, compare o CV. Os CVs são diferentes, e o maior indica menos homogeneidade. E o CV existe justamente para comparar. Cinco sobre cinquenta, dez por cento, contra quatro sobre vinte, vinte por cento: a turma A é mais homogênea. Gabarito, letra A.

Agora a forma. Nesta distribuição, a maioria dos valores está à esquerda, e alguns poucos se esticam para a direita: é a cauda. A cauda fica à direita, então a assimetria é positiva, ou à direita. E repare na ordem: primeiro a moda, depois a mediana, e a média lá na frente, puxada pela cauda. Na assimetria negativa é o contrário. E numa distribuição simétrica, as três coincidem.

E a curtose mede o achatamento da distribuição, comparado com a curva normal. Leptocúrtica: mais alta e estreita, com os dados concentrados no centro. Mesocúrtica: igual à normal. E platicúrtica: mais achatada, como um prato. No coeficiente percentílico, a referência da normal é zero vírgula duzentos e sessenta e três. Abaixo, leptocúrtica. Acima, platicúrtica.

Aquecimento rápido. Certo ou errado? O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Certo. A variância pode ser negativa. Errado. É uma média de quadrados. Somar cinco a todos os valores aumenta o desvio padrão em cinco. Errado. Somar constante não muda o desvio padrão. Uma distribuição platicúrtica é mais achatada que a normal. Certo.

E a última. Uma distribuição de frequências apresenta média igual a trinta, mediana igual a vinte e cinco e moda igual a vinte. Essa distribuição é: A, simétrica. B, assimétrica positiva, à direita. C, assimétrica negativa, à esquerda. D, mesocúrtica. E, platicúrtica. Não é simétrica, porque as três medidas são diferentes. E na negativa a média ficaria antes. Média, mediana e moda falam de assimetria, não de curtose. Moda vinte, mediana vinte e cinco, média trinta: a média foi puxada para a direita. Assimetria positiva. Gabarito, letra B.

Revisão relâmpago, para fixar. Variância é a média dos quadrados dos desvios. Desvio padrão é a raiz, na unidade dos dados. Somar constante não muda a dispersão. Multiplicar multiplica o desvio, e a variância pelo quadrado. CV é desvio sobre média: menor, mais homogêneo. Assimetria positiva: moda, mediana, média. E platicúrtica é achatada.

Fechamos dispersão e forma! Na próxima: probabilidade, com axiomas, probabilidade condicional e independência. As questões desta aula e o mapa mental estão de graça no link da descrição.